n维线性空间V的线性变换A,若向量a使得A^(n-1)(a)不为0,A^(n)(a)为0,证明a,A(a).A^(n-1)(a)线性无关

题目

n维线性空间V的线性变换A,若向量a使得A^(n-1)(a)不为0,A^(n)(a)为0,证明a,A(a).A^(n-1)(a)线性无关
如图片

答案

证: 设 k0α+k1Aα+k2A^2α+…+k(n-1)A^(n-1)α=0 (*)
等式两边左乘A^(n-1), 由A^nα=0得
k0A^(n-1)α = 0
而 A^(n-1)α≠0, 所以 k0=0.
代入(*)式得 k1Aα+k2A^2α+…+k(n-1)A^(n-1)α=0 (**)
同理, 等式两边左乘A^(n-2), 由A^nα=0得
k1A^(n-1)α = 0
而 A^(n-1)α≠0, 所以 k1=0.
代入(**)式得 k2A^2α+…+k(n-1)A^(n-1)α=0 (**)
如此类推, 得 k0=k1=...=k(n-1)=0.
所以向量组α,Aα,A^2α,…,A^(n-1)α线性无关.