半径为R的圆形薄板,其面密度与点到薄板中心距离成正比,且薄板边缘密度为σ,求薄板质量

题目

半径为R的圆形薄板,其面密度与点到薄板中心距离成正比,且薄板边缘密度为σ,求薄板质量

答案

σ（r）=σr/R,0＜r＜R
用积分：M=∫∫σ（r）rdrdθ,其中dθ从0积到2π,dr从0积到R
M=(σ/R)∫∫r^2drdθ=(2πσ/R) ∫r^2dr=(2πσ/R)(R^3/3)= (2/3)πσR^2