怎么求点到面的距离

题目

怎么求点到面的距离

答案

在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离.本文总结几种求点到平面距离的常用方法,供参考.
一 直接法
根据空间图形的特点和性质,找到垂足的位置,直接向平面引垂线,构造可解的直角三角形求解.
例1.（1998年全国高考题）已知斜三棱柱 的侧面 与底面ABC垂直,,且 ；（I）求侧棱 与底面ABC所成角的大小；（II）求侧面 与底面ABC所成二面角的大小；（III）求顶点C到侧面 的距离.
图1
简析：（I）如图1,取AC中点D,易得侧棱 与底面ABC所成的角为 .
（II）由于 底面ABC,过D作 于E,连 ,知 ,则 为所求二面角的平面角.易求得 .
（III）要求C到平面 的距离,可直接作 面 于 ,CH的长就是点到平面的距离.关键是怎样求CH的长.注意到 ,连BH,则由三垂线定理得 ,即 为二面角的平面角.由（II）知 ,所以 为所求.
注：此法的关键是要找到可解的直角三角形来求解.
二.找垂面法
找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直,然后过该点作其交线的垂线,则得点到平面的垂线段.
例2.正三棱柱 的底面边长为2,侧棱长为 ,的中点为D.（1）求证 平面 ；（2）求点B到平面 的距离.
图2
简析：（1）连 与 相交于O,连DO.由三角形中位线定理易得 ,则 .
（2）由于O为 的中点,所以点B到平面 的距离等于点 到平面 的距离.
由 ,得 ,又 ,所以面 ,交线为AD（找到了垂面）.
过 作 于H,则 ,所以 的长度就是点 到平面 的距离.
在 中,
所以点B到平面 的距离为 .
三.转化法
当由点向平面引垂线发生困难时,可利用线面平行或面面平行转化为直线上（平面上）其他点到平面的距离.
例3.（1991年全国高考题）已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在平面,且GC=2,求点B到平面EFG的距离.
简析：如图3,连AC分别与BD相交于O,与EF相交于H,由EF//BD,得BD//平面EFG.所以O到平面EFG的距离就是B到平面EFG的距离.易证平面 平面GEF,交线为GH.在 中,过O作 于K,则OK长就是B到平面EFG的距离.利用相似三角形,易得 .
图3
四.等积法
即利用三棱锥的换底法,通过积体计算得到点到平面的距离.本法具有设高不作高的特殊功效,减少了推理,但计算较为复杂.
例4.同例3.
简析：设B到面EFG的距离为h,
由于 ,
所以
另一方面,,
所以 ,
得 即为B到平面GEF的距离.
五.坐标向量法
通过建立空间直角坐标系,用空间向量求模长的知识可求得点到平面的距离.
例5.（2003年江苏高考题）如图4,在直三棱柱 中,底面是等腰直角三角形,,侧棱 ,D、E分别是 与 的中点,点E在平面ABD上的射影是 的重心G.（I）求 与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（II）求点A1到平面AED的距离.
图4
简析：（I）易知 为 与平面ABD所成的角.不难求出 .
（II）分别以CA、CB、 为x轴、y轴、z轴,建立如图4所示的空间直角坐标系.
设 ,则A（2a,0,0）,B（0,2a,0）,D（0,0,1）,（2a,0,2）,E（a,a,1）,,
所以
由 ,
解得 .
所以A（2,0,0）,（2,0,2）,E（1,1,1）
易证平面 平面 ,交线为AE,所以点 在平面AED内的射影H在AE上.
设 ,则
由 ,即 ,得
所以
故点 到平面AED的距离为 .