求证1+1/2^k+1/3^k+...+1/n^k

题目

求证1+1/2^k+1/3^k+...+1/n^k

答案

这题要用放缩法结合数学归纳法证明,证明如下：
(1)当k=2时,原式左边=1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2
而注意到1/n^2<1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n,(n>=2)
于是1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n=2-1/n<2
即当k=2时结论显然成立.
(2)假设k=x时结论1+1/2^x+1/3^x+...+1/n^x<2成立.则当k=x+1时,注意到此时有y原式左边=1+1/2^(x+1)+1/3^(x+1)+...+1/n^(x+1)
而由于n是大于等于2的整数,于是显然有从第二项开始i^(x+1)于是1+1/2^(x+1)+1/3^(x+1)+...+1/n^(x+1)<1+1/2^x+1/3^x+...+1/n^x<2
即囊k=x+1时结论也成立.
综合(1)、(2)知1+1/2^k+1/3^k+...+1/n^k<2对n∈N*,k∈N*,n,k>=2都成立.
证毕.