求y＝(3-cosx)/(2+sinx)的值域.

题目

求y＝(3-cosx)/(2+sinx)的值域.

答案

原式可写成
y=[3-cosx]/[2-(-sinx)]
根据斜率公式
k=(y2-y1)/(x2-x1)
可知.
y的值可看作为
过点A(2,3)和点B(-sinx,cos)的直线的斜率值.
而A(2,3)为定点.B(-sinx,cos)为动点.则先求动点轨迹
令y'=cosx
x'=-sinx
则有(y')^2+(x')^2=(cosx)^2+(-sinx)^2=1
即该点轨迹为圆心在原点的半径为1的圆.
那么当AB与圆相切时直线斜率有最大或最小值.
(直线AB过A点所以解析式为y=kx-2k+3)
用点到直线的距离公式.(相切时圆心到AB的距离等于半径)
1=(3-2k)/√(1+k^2) .有绝对值符号.
解得k=(6+2√3)/3或(6-2√3)/3
所以
原函数的值域为[(6-2√3)/3,(6+2√3)/3]