有一张矩形纸片ABCD,按下面步骤进行折叠：第一步：如图①,将矩形纸片 折叠,使点B、D重合,点C落在点

题目

有一张矩形纸片ABCD,按下面步骤进行折叠：第一步：如图①,将矩形纸片 折叠,使点B、D重合,点C落在点

答案

（1）由题意知,C′D与CD是对应线段,而AB=CD,故有AD=C′D；
（2）由题意知点G是矩形的中心,即延长DG过B点,延长MN也过点B,
由于五边形DMNPQ,恰好是一个正五边形,且由折叠的过程知：∠MDB=54〃,∠DMB=108°,
∴∠DBM=∠ABM=18°,
∴∠DBA=36°．
∵DE=BE,
∠EDB=∠DBA=36°,
∴∠ADE=∠MDB-∠EDB=54°-36°=18°．
在Rt△ADE中,由勾股定理知,AD2+AE2=DE2=BE2,即b2+AE2=（a-AE）2,
解得AE= ．
∵tan∠ADE=tan18°= = = ,
∴a2-b2=2abtan18°,即①正确；
∵BG= DB= ,NG= BM= m,NG⊥BD,
∴tan∠GBN=tan18°=NG：BG= m：．
∴ ,即②正确．
∵AM=AD-BM=b-m,AB=a,
∴tan∠ABM=tan18°=AM：AB=（b-m）：a,
∴b=m+atan18°,即③正确,故④错误．
故①②③正确．