已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1+2a2+3a3……

题目

已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1+2a2+3a3……

答案

已知数列{an }的前n项和为Sn,且a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）Sn+2n
求an
a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）sn+2n（n€N*）
（1） 先求a1：
n=1,
∴ a1=2
（2）利用递推式：
∵ a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1)+nan=(n-1)Sn+2n ①
∴ a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1) =(n-2)S(n-1)+2(n-1) ②
①-②：
nan =(n-1)Sn-(n-2)S(n-1)+2n
即 n[S(n)-S(n-1)]=(n-1)Sn-(n-2)S(n-1)+2
∴ S(n)=2S(n-1)+2
∴ S(n)+2=2[S(n-1)+2]
∴ {Sn+2}是以S1+2=2+2=4为首项,2为公比的等比数列,
∴ Sn+2=4*2^n=2^(n+1)
∴ Sn=-2+2^(n+1)
∴ n≥2时,an=Sn-S(n-1)=2^(n+1)-2^(n)=2^n
n=1同样满足上式
∴ an=2^n