在直角三角形ABC中,锐角C的角平分线CE交斜边的高AD于O,过O点作平行于斜边BC的直线交AB于F点.求证AE=BF

题目

在直角三角形ABC中,锐角C的角平分线CE交斜边的高AD于O,过O点作平行于斜边BC的直线交AB于F点.求证AE=BF
在直角三角形ABC中,锐角C的角平分线CE交斜边的高AD于O,过O点作平行于斜边BC的直线OF,交AB于F点.求证：AE=BF

答案

过E作EM⊥BC交BC于M,
连OM,∵EM‖AD,
∴∠DOM=∠EMO,
又CE是∠C的平分线,∴AE=ME,
∴△AEO≌△MEO（S,A,S）
∴∠OME=∠OAE,
又∠OME=∠MOD,
∴∠OAE=∠MOD
∴AB‖MO,
∴四边形AEMO是菱形,∴AE=OM.
∴四边形BFOM是平行四边形,∴BF=OM,
即AE=BF.证毕.