已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x3+mx2-nx（m，n为实数）． （1）若x=1是函数y=g（x）的一个极值点，求m与n的关系式； （2）在（1）的条件下，求函数g（x）的单调递增区间； （

题目

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x³+mx²-nx（m，n为实数）．
（1）若x=1是函数y=g（x）的一个极值点，求m与n的关系式；
（2）在（1）的条件下，求函数g（x）的单调递增区间；
（3）若关于x的不等式2f（x）≤g'（x）+1+n的解集为P，且（0，+∞）⊆P，求实数m的取值范围．

答案

（1）g'（x）=3x2+2mx-n，由题意得g′(1)＝04m2+12n＞0，∴n=2m+3（m≠-3）．（2）由（1）知：g'（x）=3x2+2mx-（2m+3）=（x-1）[3x+（2m+3）]，令g'（x）=0，得x1＝1，x2＝−1−2m3(m≠−3)①当1＞−1−2m3，即m＞-...

（1）由函数极值的定义，先求函数g（x）=x³+mx²-nx的导函数，由

g′(1)＝0 △＞0

可得m与n的关系式
（2）在（1）的条件下g'（x）=3x²+2mx-（2m+3）=（x-1）[3x+（2m+3）]，解不等式g'（x）＞0，即可得函数g（x）的单调递增区间，但需要比较根1与−1−

2m

3

的大小，因此需讨论后得结果
（3）由（0，+∞）⊆P得2f（x）≤g'（x）+1+n在x∈（0，+∞）上恒成立，参变分离后可转化为m≥lnx−

3

2

x−

1

2x

在x∈（0，+∞）上恒成立，从而只需求y＝lnx−

3

2

x−

1

2x

的最大值即可，利用导数判断其单调性可得结果

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：本题综合考查了导数在函数极值、单调性、最值中的应用，解题时要认真体会导数在研究函数性质方面的积极作用，规范解题，还要注意运算技巧和分类讨论