已知圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称，（1）求k、b的值；（2）若这时两圆的交点为A、B，求∠AOB的度数．

题目

已知圆x²+y²+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称，
（1）求k、b的值；
（2）若这时两圆的交点为A、B，求∠AOB的度数．

答案

（1）圆x²+y²+8x-4y=0即 （x+4）²+（y-2）²=20，表示以M（-4，2）为圆心，半径等于2

5

的圆．
由于另一个圆的圆心是原点O，OM的中点为N（-2，1），OM的斜率K=

2

-4

=-

1

2

．
再由2个圆的圆心关于直线y=kx+b对称，可得

k (- 1 2 )=-1 1=-2k+b

，解得 

k=2 b=5

．
（2）由上可知，直线y=kx+b即y=2x+5，即2x-y+5=0，且此直线是公共弦所在的直线．
弦心距为d=

|0-0+5|

5

=

5

，故cos

∠AOB

2

=

d

r

=

1

2

，
∴

∠AOB

2

=60°
故∠AOB=120°．

（1）由题意可得，2个圆的圆心关于直线y=kx+b对称，利用垂直以及线段的中点在轴上，解方程组求得k、b的值．
（2）公共弦所在的直线2x-y+5=0，利用点到直线的距离公式求出弦心距d，由cos

∠AOB

2

=

d

r

 求得

∠AOB

2

的值，
即可得到∠AOB的度数．

本题考点：关于点、直线对称的圆的方程；圆与圆的位置关系及其判定．

考点点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，两点关于某直线对称的性质，属于中档题．