若关于x的方程x2-(a-1)x+b-1=0的两实根为x1,x2,且x12+x22=1(1)求出a与b之间的函数关系b=f(a)及定义域;(2)作出b=f(a)的简图,并求出函数b=f(a)的最大值与
题目
若关于x的方程x2-(a-1)x+b-1=0的两实根为x1,x2,且x12+x22=1
(1)求出a与b之间的函数关系b=f(a)及定义域;
(2)作出b=f(a)的简图,并求出函数b=f(a)的最大值与最小值.
答案
(1)依题意:△=(a-1)
2-4(b-1)≥0⇒a
2-2a-4b+5≥0 ①
x
12+x
22=1⇒(a-1)
2-2(b-1)=1⇒b=
(a-1)
2+
②
把②代入①得
a2-2a-1≤0⇒1-≤a≤1+∴b=
(a-1)
2+
,a∈[1-
,1+
]
(2) 由(1)得b=
(a-1)
2+
,a∈[1-
,1+
]
∴当a=1时,
bmin=;
当
a=1±时,
bmax=.
(1)b=f(a)的解析式可以利用x12+x22=1的恒等变形与二次方程根与系数的关系结合求出,其定义域要满足方程x2-(a-1)x+b-1=0有两实根,即判别式大于等于0.
(2)由(1)知b=f(a)是一个二次函数,故依据二次函数的性质求最大值与最小值即可
二次函数的性质;函数的表示方法;函数的最值及其几何意义;二次函数的图象.
本题考点是二次函数的性质,考查利用根与系数的关系求解析式以及利用二次函数的性质求最值,本题第一小题对恒等变形的技巧要求较高,做题时应细心体会.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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