某行星表面没有气体,在它的表面附近作匀速圆周运动的卫星的环绕周期为T,如果宇航员在这个行星地面上以v的初速度竖直向上抛出一石块,石块向上运动的最大高度为h.已知万有引力恒

某行星表面没有气体,在它的表面附近作匀速圆周运动的卫星的环绕周期为T,如果宇航员在这个行星地面上以v的初速度竖直向上抛出一石块,石块向上运动的最大高度为h.已知万有引力恒

题目
某行星表面没有气体,在它的表面附近作匀速圆周运动的卫星的环绕周期为T,如果宇航员在这个行星地面上以v的初速度竖直向上抛出一石块,石块向上运动的最大高度为h.已知万有引力恒量为G,求该行星的质量有多大.
答案
设行星半径为r,根据题意,它的卫星的轨道半径也为r,设该行星表面的重力加速度为g、质量为M,卫星的质量为m,石块质量为m1
根据机械能守恒定律  
1
2
m1v2=m1gh  
得 g=
v2
2h

卫星的向心力F=mω2r=m
4π2
T2
r

向心力等于重力m
4π2
T2
r=mg
  
故 r=
gT2
4π2

也就是r=
v2T2
8hπ2

根据万有引力定律F=G
Mm
r2
=m
4π2
T2
r

由以上各式得 M=
v6T2
128Gπ4h3

答:该行星的质量为
v6T2
128Gπ4h3
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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