若函数y=f(x)(x属于R)的图像关于直线x=a及点（b,c）(b不等于a)对称,试证：f(x)是周期函数

题目

若函数y=f(x)(x属于R)的图像关于直线x=a及点（b,c）(b不等于a)对称,试证：f(x)是周期函数
最好把怎么会想到代换的思路讲一下

答案

∵关于x=a对称
∴f(x)=f(2a-x)
又∵关于(b,c)对称
∴f(x)+f(2b-x)=c=f(b)
∴f(2a-x)+f(2b-x)=f(b)
令x=b
f(2a-b)+f(b)=f(b)∴f(2a-b)=0由于对称,故f(b)=0
∴f(2a-x)+f(2b-x)=0
令x=-x
∴f(2a+x)=-f(2b+x)
∴f(x)=-f(x+2b-2a)=-(-f(x+4b-4a))=f(x+4b-4a)
∵a≠b∴4b-4a≠0
所以f(x)是周期函数.