求微分方程dy/dx-ny/x=e^x x^n的通解

题目

求微分方程dy/dx-ny/x=e^x x^n的通解

答案

dy/dx-ny/x=0
y'=ny/x
dy/y=ndx/x
lny=nlnx+C'
y=Ce^n*x
用常数变异法得
y=ue^n*x
u'e^n*x=e^x*x^n
u'=e^(x-n)*x^(n-1)
两边积分得
u=∫e^(x-n)*x^(n-1)dx
=e^(x-n)*x^(n-1)-(n-1)∫e^(x-n)*x^(n-2)dx
=e^(x-n)*x^(n-1)+∑(t=1到n-1)(-1)^t(n-1)!/(n-1-t)!*e^(x-n)*x^(n-1-t)+C
所以,原方程的通解是：
y=e^n*x*[e^(x-n)*x^(n-1)+∑(t=1到n-1)(-1)^t(n-1)!/(n-1-t)!*e^(x-n)*x^(n-1-t)+C]
又做了一遍,以下面的答案为准：
dy/dx-ny/x=0
y'=ny/x
dy/y=ndx/x
lny=nlnx+C'=lnx^n+C'
y=Cx^n
用常数变异法得
y=ux^n
u'x^n=e^x*x^n
u'=e^x
两边积分得
u=e^x+C
所以,原方程的通解是：
y=x^n*(e^x+C)