求数列极限（利用三个重要数列极限求其他数列极限）

题目

求数列极限（利用三个重要数列极限求其他数列极限）
三个重要数列极限 lim(sinx/x)=1(x趋于0） ,lim(1+1/x)^x=e(x趋于无穷大）,lim(a^x-1)/x=Ina(x趋于无穷大）
求（1）lim(3^x+9^x)^(1/x) (x趋于无穷大时）
（2）lim[(a^x+b^x)/2]^x(x趋于无穷大）
（3）lim(cosx)^(兀/2-x)(x趋于兀/2)

答案

（1）提出3^x来 就变成lim(3^x)^(1/x)*lim(1+3^x)^(1/x)=3*lim(1+3^x)^(1/x)=3*lim(1+3^x)^(1/3^x)*3^x*(1/x)=3*e^lim((3^x)*(1/x))=3*e^lim((3^x-1)/x)=3*e^ln3=9;
（或者直接理解为原式=3*lim(1+3^x)^(1/x)=3*lim(3^x)^(1/x)=3*3=9）.
（2）需要根据a、b的值讨论.a,b之中有一个大于1,那么极限为无穷大；当a=b=1时,极限易得1,当a,b都小于1时,极限为0.
（3）lim(cosx)^(兀/2-x)(x趋于兀/2)=
lim(1+cosx-1)^(兀/2-x)(x趋于兀/2)=lim(1+cosx-1)^（(cosx-1)(兀/2-x)*1/(cosx-1)）(x趋于兀/2)=
e^lim((cosx-1)(兀/2-x))=e^lim((sin(兀/2-x)-1)(兀/2-x))=e^0=1.