矩阵a~e说明a经过初等变换可以转化成单位阵,是不是可以说|a|=|e|=1?

题目

矩阵a~e说明a经过初等变换可以转化成单位阵,是不是可以说|a|=|e|=1?

答案

一般情况是:若A经过初等变换化为矩阵B
则存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQ = B.
当A是方阵时,等式两边取行列式得 |P||A||Q| = |B|
由于P,Q可逆,|P||Q|≠0
所以 |A| 与 |B| 差一个非零倍数.
即存在k≠0,使得 |A| = k|B|.
若B=E
则 |A| = k ≠0,则 A 可逆,但其行列式不一定等于1.