已知有长方体ABCD-1B1C1D1,AB=BC=2,AA1=根号2,A1C1与B1D1相较于点E,BC1与B1C相交于点F,求（1）AF和BE所成

题目

已知有长方体ABCD-1B1C1D1,AB=BC=2,AA1=根号2,A1C1与B1D1相较于点E,BC1与B1C相交于点F,求（1）AF和BE所成
角；（2）二面角F-BC-E的平面角的余弦值

答案

（1）以D为坐标原点DA、DC、DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系
∴A(2,0,0)
F(1,2,√2/2)
B(2,2,0)
E(1,1,√2)
向量AF=(-1,2,√2/2)
向量BE=(-1,-1,√2)
向量AF*向量BE=1-2+1=0
∴AF和BE所成的角是90°
（2）
面FBC的一个法向量是向量m=（0,1,0）
令面EBC的一个法向量是向量n=（x,y,z）
∴向量n*向量BC=-2x=0
向量n*向量BE=-x-y+√2z=0
x=0 令z=1,则y=√2
∴向量n=（0,1,√2）
∴cosθ＜向量m
向量n≥1/√3=sinθ
∴cosθ=√6/3
∴二面角F-BC-E的平面角的余弦值是√6/3