在三角形ABC中,BD.CE是高,EH垂直BC于H.交CA的延长线于M.求证HE×HE=HG×HM

题目

在三角形ABC中,BD.CE是高,EH垂直BC于H.交CA的延长线于M.求证HE×HE=HG×HM

答案

∵∠BEC=∠EHC=90°
∴∠HBE+∠HEB=90° ∠HBE+∠HCE=90°
∴∠HEB=∠HCE
∵∠BHC=∠EHC=90°
∴△ BHE∽△EHC
∴HB/HE=HE/HC
∴HE×HE=HB×HC
∵∠BDC=∠CHM=90°
∴∠BCD+∠CBD=90° ∠CMH+∠BCD=90°
∴∠CBD=∠CHM
∵∠BHG=∠MHC=90°
∴△BHG ∽△MHC
∴HB/HM=HG/HC
∴HG×HM=HB×HC
∴HE×HE=HG×HM