在平面直角坐标系xoy中,经过点(0,√2)且斜率为k的直线l与椭圆x^2/2+y^2=1有两个交点P和Q

题目

在平面直角坐标系xoy中,经过点(0,√2)且斜率为k的直线l与椭圆x^2/2+y^2=1有两个交点P和Q
1.K的取值范围是多少?
2.若K=1,求弦长PQ
3.若OP垂直于OQ,求K值
二.在抛物线Y^2=4X上求一点P,使P到直线Y=X+3的距离最短

答案

l是y-√2=kx
y=kx+√2
代入椭圆
x^2+2(k^2x^2+2√2kx+2)=2
(2k^2+1)x^2+4√2kx+2=0
有两个交点
所以方程有两个不同的根
所以判别式大于0
32k^2-8(2k^2+1)>0
16k^2>8
k>√2/2,k<-√2/2
k=1
(2k^2+1)x^2+4√2kx+2=0
所以3x^2+4√2x+2=0
x1+x2=-4√2/3,x1x2=2/3
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=8/9
l是y=x+√2
(y1-y2)^2=[(x1+√2)-(x2+√2)]^2=(x1-x2)^2=8/9
所以PQ=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=√[8/9+8/9)=4/3
(2k^2+1)x^2+4√2kx+2=0
x1+x2=-4√2k/(2k^2+1)
x1x2=2/(2k^2+1)
y1y2=(kx1+√2)(kx2+√2)=k^2x1x2+√2k(x1+x2)+2=(-2k^2+1)/(2k^2+1)
垂直则斜率乘积=-1
OP和OQ斜率分别是y1/x1,y2/x2
所以(y1y2)/(x1x2)=-1
所以(-2k^2+1)/(2k^2+1)=-2/(2k^2+1)
2k^2-1=2
k^2=3/2
k=√6/2或k=-√6/2
y^2=4x
设P纵坐标是a,a^2=4x,x=a^2/4
P(a^2/4,a)
P到x-y+3=0距离=|a^2/4-a+3|/√(1^2+1^2)
就是求分子的最小值时的a
a^2/4-a+3=1/4(a-2)^2+2>0
所以绝对值可以去掉
则显然a=2有最小值
a^2/4=1
所以P(1,2)