已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA垂直于平面ABCD,PA=√3,AB=1,AD=2,∠BAD=120°,E,G,H分别是BC,PC,AD的中点.求证:平面PAE垂直于平面PD

题目

已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA垂直于平面ABCD,PA=√3,AB=1,AD=2,∠BAD=120°,E,G,H分别是BC,PC,AD的中点.求证:平面PAE垂直于平面PDE.

答案

郭敦顒回答：
∵在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA垂直于平面ABCD,PA=√3,AB=1,AD=2,∠BAD=120°,E是BC的中点,
∴∠ABC=60°,AB=BE=EC=CD=1,∠BAE=∠BEA=60°,∠EAD=60°,
∴AE=AB=BE=1,
∴∠BCD=120°,∠CED=∠CDE=30°,∴∠AED=180°－60°－30°=90°,
∵在Rt⊿PAE中,PA⊥AE,AE=1,PA=√3,∴PE=√（1+3）=2
在Rt⊿PAD中,PA⊥AD,AD=2,PA=√3,∴PD=√（4+3）=√7,
在Rt⊿AED中,∠AED=90°,∠EAD=60°,AD=2,PAE=1,∴DE=√3
在△PED中,PE=2,PD=√7,DE=√3,∴PD²=PE²+DE²,∴DE⊥PE,
又DE⊥AE,∴平面PAE垂直于平面PDE.
 
                   P
 
 
 
              A                   D
 
 
 
        B         E        C