设f(x)=ex1+ax2,其中a为正实数. (1)当a=4/3时,求f(x)的极值点; (2)若f(x)为[1/2, 3/2]上的单调函数,求a的取值范围.

设f(x)=ex1+ax2,其中a为正实数. (1)当a=4/3时,求f(x)的极值点; (2)若f(x)为[1/2, 3/2]上的单调函数,求a的取值范围.

题目
f(x)=
ex
1+ax2
,其中a为正实数.
(1)当a=
4
3
时,求f(x)的极值点;
(2)若f(x)为[
1
2
, 
3
2
]
上的单调函数,求a的取值范围.
答案
f′(x)=
(ax2−2ax+1)ex
(1+ax2)2

(1)当a=
4
3
时,若f'(x)=0,
4x2−8x+3=0⇒x1
1
2
, x2
3
2

x (−∞,
1
2
)
1
2
(
1
2
, 
3
2
)
3
2
(
3
2
, +∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增
x1
1
2
是极大值点,x2
3
2
是极小值点;    
(2)记g(x)=ax2-2ax+1,则g(x)=a(x-1)2+(1-a),
∵f(x)为[
1
2
, 
3
2
]
上的单调函数,
则f'(x)在[
1
2
, 
3
2
]
上不变号,
ex
(1+ax2)2
>0

∴g(x)≥0或g(x)≤0对x∈[
1
2
, 
3
2
]
恒成立,
由g(1)≥0或g(
1
2
)≤0
⇒0<a≤1或a≥
4
3

∴a的取值范围是0<a≤1或a≥
4
3
(1)把a=
4
3
代入f(x)=
ex
1+ax2
,对f(x)进行求导,令f′(x)=0,解出其极值点;
(2)已知f(x)上的为单调函数,可知f′(x)在[
1
2
, 
3
2
]
恒大于等于0,或恒小于等于0,利用求出a的取值范围.

利用导数研究函数的极值;函数的单调性与导数的关系.

此题主要考查利用导数求函数的单调性,解此题的关键是对f(x)能够正确求导,利用了转化的思想,是一道中档题;

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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