如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足． （1）求证：AC平分∠DAB． （2）若AD=3，AC=15，求AB的长．

题目

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足．

（1）求证：AC平分∠DAB．
（2）若AD=3，AC=

15

，求AB的长．

答案

（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DAC=∠OAC，∴AC平分∠DAB；（2）连接BC，∴∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，∴△DAC∽△C...

（1）先连接OC，由于CD是切线，那么OC⊥CD，而AD⊥CD，于是OC∥AD，再利用平行线的性质有∠OCA=∠DAC，又OC=OA，那么∠OCA=∠OAC，从而有∠DAC=∠OAC，可以判定AC平分∠DAB；
（2）连接BC，由于∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，可证△DAC∽△CBA，利用比例线段可求AB．

本题考点：切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了切线的性质、平行线的判定和性质、角平分线的判定、相似三角形的判定和性质．解题的关键是连接OC、BC，并证明OC∥AD．