已知圆C的圆心在x轴上,且经过点(1,0),直线l:x-3y-1=0被圆C所截得的弦长为23,求圆C的标准方程.

已知圆C的圆心在x轴上,且经过点(1,0),直线l:x-3y-1=0被圆C所截得的弦长为23,求圆C的标准方程.

题目
已知圆C的圆心在x轴上,且经过点(1,0),直线l:x-
3
y-1=0
被圆C所截得的弦长为2
3
,求圆C的标准方程.
答案
由题意,设圆心坐标为(a,0),则由直线l:x-
3
y-1=0
被该圆所截得
的弦长为2
3
得,(
|a-1|
1+3
)
2
+3=(a-1)2
,解得a=3或-1,
故圆心坐标为(3,0),或(-1,0)
又已知圆C过点(1,0),所以所求圆的半径为2,故圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4.或(x+1)2+y2=4
故所求圆的标准方程为:(x-3)2+y2=4或(x+1)2+y2=4
利用圆心,半径(圆心和点(1,0)的距离)、半弦长、弦心距的勾股定理关系,求出圆心坐标,然后求出圆C的标准方程.

直线与圆相交的性质;圆的标准方程.

本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系,考查了同学们解决直线与圆问题的能力.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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