已知CD是△ABC中AB边上的高，AC+BC=8，CD=2，AE是△ABC的外接圆的直径， （1）试说明△CBD∽△AEC； （2）设AC=x，AE=y，求y关于x的函数关系式； （3）求y的最大值．

题目

已知CD是△ABC中AB边上的高，AC+BC=8，CD=2，AE是△ABC的外接圆的直径，

（1）试说明△CBD∽△AEC；
（2）设AC=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；
（3）求y的最大值．

答案

（1）证明：连接BC，
∵CD是△ABC中AB边上的高，
∴∠CDB=90°，
∵AE是△ABC的外接圆的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠CDB，
∵∠E=∠B，
∴△CBD∽△AEC；
（2）∵△CBD∽△AEC，
∴

CD

AC

=

BC

AE

，
∵AC=x，AE=y，AC+BC=8，CD=2，
∴BC=8-x，
∴

2

x

=

8−x

y

，
∴y关于x的函数关系式为：y＝−

1

2

x2+4x；
（3）∵y＝−

1

2

x2+4x=-

1

2

（x-4）²+8，
∴y的最大值为8．