△ABC中,设D为BC边的中点,求证:3向量AB+2向量BC+向量CA=2向量AD

题目

△ABC中,设D为BC边的中点,求证:3向量AB+2向量BC+向量CA=2向量AD

答案

证明：令 向量AB=向量x,向量AC=向量y,
则 向量BC=向量AC -向量AB =y-x.
又因为 D为BC的中点,
所以 BD =(1/2) BC =(1/2)y -(1/2)x.
所以 2 AD=2 (AB+BD)
=2 [x +(1/2)y -(1/2)x]
=x +y.
又因为 3 AB +2 BC +CA =3x +2 (y-x) -y
=x +y,
所以 3 AB +2 BC +CA =2 AD.
= = = = = = = = =
可以设一些简单的向量为x,y,z等,再把向量问题变为代数问题.