无穷区间上的积分与无界函数积分的区别?

题目

无穷区间上的积分与无界函数积分的区别?

答案

取点列1/(pi/2),1/(2pi+pi/2),1/(4pi+pi/2),...显然这点列趋近于零.
当x在此点列中取值时,sin(1/x)始终是1,而1/x越来越大.任取M>0,则显然能找到自然数N,f(1/(Npi+pi/2))>M.故而无界.
0+处无穷大的定义是：如果对于任意大的正数K,都能找到一个正数d,使得0<x<d时,f(x)>K.而此处,选定一个K后,无论取多小的正数d,都能找到自然数m,使得x = 1/m(pi)处的函数值为零.因为sin(1/x) = sin(m pi) = 0.
故而不满足无穷大定义.