等腰直角三角形ABC中∠C=90度,P为其内部一点,PB:PC:PA=1:2:3,求∠BPC

题目

等腰直角三角形ABC中∠C=90度,P为其内部一点,PB:PC:PA=1:2:3,求∠BPC

答案

因为PB:PC:PA=1:2:3,为方便起见,不妨设PB=1,PC=2,PA=3.
把三角形CPB绕点C旋转90度,使点B与点A重合,点P至点Q处,得到三角形CQA,则三角形CQA全等三角形CPB,于是,角AQC=角BPC,CQ=CP=2,AQ=BP=1.
因为三角形CPQ是等腰直角三角形,所以,PQ=2根号2,角CQP=45度.
在三角形APQ中,AQ平方+PQ平方=1+9=8=9=AP平方,所以,角AQP=90度,
所以,角AQC=角CQP+角AQP=45+90=135度,
所以,∠BPC=∠AQC=135度.