如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F．求证：PM=QM．

题目

如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F．求证：PM=QM．

答案

证明：在正方形ABCD中，△PBC、△QCD都是等边三角形，
∴∠QCB=∠PCD=30°．（2分）
又∵BC=CD，
∴在△EBC与△FDC中，

∠ECB＝∠FCD BC＝CD ∠EBC＝∠FDC

，
∴△EBC≌△FDC（ASA），（4分）
∴CE=CF．
又∵CQ=CD=BC=CP，
∴PF=QE，（5分）
又∵∠P=∠Q，
∠QME=∠PMF，
∴△MEQ≌△MFP，
∴PM=QM．（7分）

要证明PM=QM，可以证明△PMF≌△QME，观察图形，容易发现∠P=∠Q=60°，∠PMF=∠QME，关键是找出一组边相等，再联系已知条件，发现由ASA可以证明△EBC≌△FDC，得出CE=CF，从而PF=QE．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．

考点点评：证题较复杂时，一般采取“两头凑”的方法，即由求证出发，看需要哪些条件，再由已知出发，能够得出哪些结论，然后选择比较，得出结果．