圆C通过不同的三点P（k，0）、Q（2，0）、R（0，1），已知圆C在点P处的切线斜率为1，试求圆C的方程．

题目

圆C通过不同的三点P（k，0）、Q（2，0）、R（0，1），已知圆C在点P处的切线斜率为1，试求圆C的方程．

答案

设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则k、2为x²+Dx+F=0的两根，
∴k+2=-D，2k=F，
即D=-（k+2），F=2k，
又圆过R（0，1），故1+E+F=0．
∴E=-2k-1．
故所求圆的方程为
x²+y²-（k+2）x-（2k+1）y+2k=0，
圆心坐标为（

k+2

2

，

2k+1

2

）．
∵圆C在点P处的切线斜率为1，
∴k_CP=-1=

2k+1

2−k

，∴k=-3．∴D=1，E=5，F=-6．
∴所求圆C的方程为x²+y²+x+5y-6=0．