在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+1/n),则an= _ .
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在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+1/n),则an= _ .
题目
在数列{a
n
}中,a
1
=2,a
n+1
=a
n
+ln(1+
1
n
答案
a
1
=2+ln1,
a
2
=2+ln2,
a
3
=2+ln2+ln
3
2
=2+ln3
,
a
4
=2+ln3+ln
4
3
=2+ln4
,
由此猜想a
n
=2+lnn.
用数学归纳法证明:
①当n=1时,a
1
=2+ln1,成立.
②假设当n=k时等式成立,即a
k
=2+lnk,
则当n=k+1时,
a
k+1
=
a
k
+ln(1+
1
k
)
=2+lnk+ln
k+1
k
=2+ln(k+1).成立.
由①②知,a
n
=2+lnn.
故答案为:2+lnn.
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