如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．

题目

如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．

答案

证明：作DE⊥AC于E，则AC=54AE，AB=5DE，又∵G是AB的中点，∴AG=52ED．∴254ED2=AF•54AE，∴5ED2=AF•AE，∴AB•ED=AF•AE，∴ABAE=AFED，∴△BAF∽△AED，∴∠ABF=∠EAD，而∠EAD+∠DAB=90°，∴∠ABF+∠DAB=90°...