在复平面上设点A.B.C对应的复数分别为i.1.4+i过ABC做平行四边形ABCD,求点D的坐标及此平行四边形的对角线BD的长

题目

在复平面上设点A.B.C对应的复数分别为i.1.4+i过ABC做平行四边形ABCD,求点D的坐标及此平行四边形的对角线BD的长

答案

在复平面上,A(0,i),B(1,0),C(4,I)
设D的坐标为D(x,yi)
∵ABCD为平行四边形,∴设向量AB∥DC.
A向量AB=(1,0)-(0,i)=(1,-i).
向量DC=(4,I)-(x,yi)=(4-x,i-yi)=(4-x,(1-y)i)
∵向量AB∥DC,∴1*(1-y)i-(-i)*(4-x)=0.
i-yi+4i-xi=0.
-xi -yi+5i=0.
x+y=5 ---(1)
向量AD=(x,yi)-(0,i)=(x,(y-1)i),
向量BC=(4,i)-(1,0)=(3,i)
∵向量AD∥BC,
∴xi-3*(y-1)i=0
x-3y+3=0 (2)
联解(1),(2),得：x=3,y=2.
∴D点的坐标为：D(3,2i)
对角线BD的长度为|BD|,
|BD|=