已知过两定点的一个交点O的动直线与两圆分别交于点A、B,求线段AB中点P的轨迹方程

题目

已知过两定点的一个交点O的动直线与两圆分别交于点A、B,求线段AB中点P的轨迹方程

答案

如图,以O为原点,建立平面直角坐标系
因为两定圆均过原点O,故可设其方程分别 为：x2+y2-2ax-2by=0 ①
x2+y2-2cx-2dy=0 ②
当动直线斜率存在时,设其方程为
y=kx ③
将方程③分别与方程①、②联立,可得

设线段AB的中点为P（x,y）,则
④
∵点P在直线y=kx上
∴将 代入④,消去k,得：
整理得：x2+y2-(a+c)x-(b+d)y=0 ⑤
当动直线斜率不存在时,其方程为：x=0,分别代入①、②可得A（0,2b）,B(0,2d)
则AB的中点P为（0,b+d）,将此代入⑤式,仍成立.
∴所求动点P的轨迹方程为 x2+y2-(a+c)x-(b+d)y=0