如图,几何体ABC-A1B1C1中,面ABC平行面A1B1C1,面ACC1A1为矩形,面ACC1B1垂直面BCC1B1,已知AC=3,BC=AA1=4,BB1=

题目

如图,几何体ABC-A1B1C1中,面ABC平行面A1B1C1,面ACC1A1为矩形,面ACC1B1垂直面BCC1B1,已知AC=3,BC=AA1=4,BB1=

答案

（1）直线A1B1与平面BCC1B1所成的角的范围为：(0,π4]；
（2）（i）∵B1B⊥BC,B1B⊥BA,BC∩BA=B
∴BB1⊥平面ABC（5分）
∵θ=90°,∴AC⊥BC
以B为坐标原点,分别以BC,BA,BB1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图（4）
则A （0,2,0）,C（1,0,0）,A1（0,2,4）,C1（1,0,1）,B1（0,0,2）（6分）
∴B1C1→=（1,0,-1）,B1A1→=（0,2,2）,
设平面A1B1C1的一个法向量为n→=（x,y,z）,
则{B1C1→•n→=0B1A1→•n→=0⇒{x-z=02y+2z=0取n→=（1,-1,1）．
∵M（12,1,12）,∴BM→=（12,1,12）．
∴BM→•n→=12-1+12=0．
又BM不在平面A1B1C1内；
故BM∥平面A1B1C1．
（ii）平面A1B1C1的一个法向量为n→=（1,-1,1）；
平面B1C1CB的法向量m→=（0,1,0）
∴cos＜m→•n→＞=n→•m→|n→|•|m→|=-33．
又因为0＜α≤900；
∴α=π-＜n→,m→＞．
所以：cosα=33．