已知点A(-1,0),B(2,0),动点M满足2∠MAB=∠MBA,求点M的轨迹方程.
题目
已知点A(-1,0),B(2,0),动点M满足2∠MAB=∠MBA,求点M的轨迹方程.
答案
设M(x,y),∠MAB=α,则∠MBA=2α,它们是直线MA、MB的倾角还是倾角的补角,
与点M在x轴的上方还是下方有关;以下讨论:
①若点M在x轴的上方,α∈(0
0,90
0),y>0,
此时,直线MA的倾角为α,MB的倾角为π-2α,
∴tanα=k
MA=
,tan(π−2α)=,(2α≠90
0)
∵tan(π-2α)=-tan2α,∴-
=,
得:x
2-
=1,∵|MA|>|MB|,∴x>1.
当2α=90°时,α=45°,△MAB为等腰直角三角形,此时点M的坐标为(2,3),它满足上述方程.
②当点M在x轴的下方时,y<0,同理可得点M的轨迹方程为x
2-
=1(x≥1),
③当点M在线段AB上时,也满足2∠MAB=∠MBA,此时y=0(-1<x<2).
综上所求点的轨迹方程为x
2-
=1(x≥1)或y=0(-1<x<2).
举一反三
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