已知关于x,y的二元二次方程x2+y2+2x-4y+k=0(k∈R)表示圆C.(1)求圆心C的坐标;(2)求实数k的取值范围;(3)是否存在实数k,使直线l:x-2y+4=0与圆C相交于M、N两点,且
题目
已知关于x,y的二元二次方程x2+y2+2x-4y+k=0(k∈R)表示圆C.
(1)求圆心C的坐标;
(2)求实数k的取值范围;
(3)是否存在实数k,使直线l:x-2y+4=0与圆C相交于M、N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点)?若存在,请求出k的值,若不存在,说明理由.
答案
(1)由方程x
2+y
2+2x-4y+k=变形为(x+1)
2+(y-2)
2=5-k.
∴圆心C的坐标为(-1,2);
(2)∵此方程表示圆,∴5-k>0,解得k<5,故k的取值范围是(-∞,5);
(3)设M(x
1,y
1),N(x
2,y
2).
联立直线与圆可得5y
2-16y+8+k=0,
∵直线与圆相交,∴△=16
2-20(8+k)>0,化为k<
.
∴y
1+y
2=
,y
1y
2=
.
∴x
1x
2=(4-2y
1)(4-2y
2)=16-8(y
1+y
2)+4y
1y
2,
∵OM⊥ON,
∴x
1x
2+y
1y
2=5y
1y
2-8(y
1+y
2)+16=0,
∴8+k-
+16=0,
解得k=
,满足k<
,
故k=
.
举一反三
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