P点在曲线y=1/2ex次上,Q在y=ln（2x）上,PQ最小值是多少

题目

P点在曲线y=1/2ex次上,Q在y=ln（2x）上,PQ最小值是多少

答案

∵函数y=1/2e^x与函数y=ln（2x）互为反函数,图象关于y=x对称 函数y=1/2e^x上的点P(x,1/2 e^x)到直线y=x的距离为d=|1/2e^x-x|/ √2 设g（x）=1/2 e^x-x,（x＞0）则g′(x)=1/2 e^x-1 由g′(x)=1/2 e^x-1≥0可得x≥ln2,由g′(x)=12 e^x-1＜0可得0＜x＜ln2 ∴函数g（x）在（0,ln2）单调递减,在[ln2,+∞）单调递增 ∴当x=ln2时,函数g（x）min=1-ln2 dmin=(1-ln2)/ √2 由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为2dmin= √ 2 (1-ln2)