(1)已知z为虚数,z+9/z−2为实数,若z-2为纯虚数,求虚数z; (2)已知w=z+i(z∈C),且z−2z+2为纯虚数,求M=|w+1|2+|w-1|2的最大值及M取最大值时w的值.
题目
(1)已知z为虚数,
z+为实数,若z-2为纯虚数,求虚数z;
(2)已知w=z+i(z∈C),且
为纯虚数,求M=|w+1|
2+|w-1|
2的最大值及M取最大值时w的值.
答案
(1)z为虚数且z-2为纯虚数,可设z=2+bi(b∈R,b≠0)
又
z+=2+bi+
=2+bi-
i=2+(b-
)i为实数,
所以b-
=0,b=±3
所以z=2±3i.
(2)设z=a+bi(a,b∈R,)
则
=
=
由于
为纯虚数,所以
即a
2+b
2=4,且b≠0.①
∴M=|w+1|
2+|w-1|
2=(a+1)
2+(b+1)
2+(a-1)
2+(b+1)
2=2(a
2+b
2)+4b+4
=12+4b
由①可得出b∈[-2,2]且b≠0,所以b的最大值为2,从而M的最大值为20.
此时a=0,w=z+i=2i+i=3i.
(1)由已知,可设z=2+bi(b∈R,b≠0).根据
z+为实数求出虚部为0,解出参数b,从而求出z
(2)设z=a+bi(a,b∈R,)根据
为纯虚数,得出
,即a
2+b
2=4,且b≠0.
M=|w+1|
2+|w-1|
2=2(a
2+b
2)+4b+4=12+4b,在上式条件下求出最值及w.
复数代数形式的混合运算;复数的基本概念;复数求模.
本题考查复数代数形式的基本运算,复数的分类、模的计算,考查转化、计算能力.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点