等腰直角三角形ABC中,角ACB=90度,AD为腰CD上的中线,CE垂直AD交AB于E.求证角CDA=角EDB

题目

等腰直角三角形ABC中,角ACB=90度,AD为腰CD上的中线,CE垂直AD交AB于E.求证角CDA=角EDB

答案

过C做CF垂直于AB交AB于点F交AD于点H,连接BH延长至AC交AC于点G.
∵CF与AD都是中线,
∴过这两点交点H和另一顶点B的线也是另一条边的中线,即BG为AC上的中线,
因此易证三角形BGC与三角形ADC全等所以角GBC=角CAD.设CE与AD交点为I,因为角CID=90,所以角ICD+角CDI=90,同理,角CAD+角CDI=90,故角ICD=角CAD,又因为前面已经证角GBC=角CAD,所以角ICD=角GBC.
∵角ICD=角GBC,角FCB=角FBC（这个不用说了吧）,CB=BC,
∴△HCB≌△EBC,
∴HB=CE,
又∵CD=BD(中线）,角ICD=角GBC（已证）,
∴△HDB全等△EDC,故角CDE=角HDB,故角CDE-角EDA=角HDB-角EDA,
即角CDA=角EDB