过点(0,1)的直线和椭圆3x^2+y^2=2相交于A B两点,已知|AB|=根号10/2,求直线的方程

题目

过点(0,1)的直线和椭圆3x^2+y^2=2相交于A B两点,已知|AB|=根号10/2,求直线的方程

答案

(1)假如直线的斜率不存在,即直线为y=1 .
此时直线与椭圆的交点为(-√3/3,1),(√3/3,1)
弦长=2√3/3≠√10/2
(2)设直线的斜率为k,A(x1,y1)B(x2,y2)
直线方程y=kx+1-----------①
椭圆方程3x^2+y^2=2-----②
把①代入②中消去y得
（3+k^2)x^2+2kx-1=0
则x1+x2=-2k/(3+k^2),x1x2=-1/(3+k^2)
由弦长公式|AB|=√{(1+k^2)[(x1+x2)^2-4*x1x2]}=10/2
解得k^2=1,-21/11(舍去)
所以k=-1,1
所以直线为y=x+1或者y=-x+1