在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(sinB+sinc,sinA−sinB),n=(sinB−sinC,sin(B+C)),且m⊥n.(1)求角C的大小;(2)若sinA=4
题目
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量
=(sinB+sinc,sinA−sinB),
=(sinB−sinC,sin(B+C)),且
⊥.
(1)求角C的大小;
(2)若
sinA=,求cosB的值.
答案
(1)由
⊥可得,
•=sin
2B-sin
2C+sin
2A-sinAsinB=0,
由正弦定理,得b
2-c
2+a
2-ab=0.…(2分)
再结合余弦定理得
cosC===.…(4分)
∵0<C<π,∴
C=.…(6分)
(2)∵
sinC==>==sinA,∴由正弦定理知c>a,
故
=C>A,故
cosA=.…(9分)
∴
cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=.…(12分)
(1)两个向量数量积公式及两个向量垂直的性质可得b2-c2+a2-ab=0,再利用余弦定理求出cosC的值,即可得到C的值.
(2)由sinC>sinA及正弦定理可得c>a,利用同角三角函数的基本关系求出cosA,再利用两角和的余弦公式和诱导公式
求出cosB的值.
解三角形;数量积判断两个平面向量的垂直关系;平面向量的综合题.
本题主要考查两个向量数量积公式的应用,两个向量垂直的性质,余弦定理和诱导公式的应用,三角形中大边对大角,
两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系的应用,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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