设方阵A满足矩阵方程A²-A-2E=0,证明:A及A+2E都可逆,并求A^-1及（A+2E）^-1

题目

设方阵A满足矩阵方程A²-A-2E=0,证明:A及A+2E都可逆,并求A^-1及（A+2E）^-1

答案

A(A-E)=2E
A [1/2(A-E)]=E
所以由定义,得
A可逆,且A^-1=1/2(A-E);
(A+2E)(A-3E)=-4E
(A+2E)[-1/4(A-3E)]=E
所以
A+2E可逆,且（A+2E）^-1=-1/4(A-3E)