若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.

题目

若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.

答案

　　记
　　　F(x) =∫[a,x]f(t)dt,
则由于对任意的 x∈[a,b],都有
　　　lim(△x→0)[F(x+△x)-F(x)]/△x
　　= lim(△x→0)[∫[a,x+△x]f(t)dt-∫[a,x]f(t)dt]/△x
　　= lim(△x→0)[∫[x,x+△x]f(t)dt]/△x
　　= lim(△x→0)[f(x+θ△x)△x]/△x
　　= lim(△x→0)f(x+θ△x)
　　= f(x),
得知
　　　F'(x) = f(x),
即…….