已知f（x）=㏑x-1/2ax²-2x(a≠0)

题目

已知f（x）=㏑x-1/2ax²-2x(a≠0)
（1）若f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围.
（2）当a大于0时,函数f(x)在[1/e,1]上有最小值-21/8,求它在此区间上的最大值.
求详解.

答案

f（x）=㏑x-（1/2）ax²-2x(a≠0) ,
f'(x)=1/x-ax-2=(-ax^2-2x+1)/x,
(1)f(x)存在单调递减区间,
<==>f'(x)<0的解集是一个区间,
<==>x(ax^2+2x-1)>0的解集是一个区间,
<==>a≠0.
（2）由f'(x)=0得x=[-1土√（1+a)]/a,
a>0时,若x1=[-1+√（1+a)]/a∈[1/e,1],则
√（1+a)∈[1+a/e,1+a],
1+a>=1+2a/e+a^2/e^2,
0f(1/e)=-(2e^2+4e+a)/(2e^2)>-(3e+2)/(2e)≈-1.9,
f(1)=-a/2-2=-21/8,a=5/4.
f(x)|max=f(x1)=f(2/5)=ln0.4-0.9;
若x1=[-1+√（1+a)]/a不∈[1/e,1],则a>e(e-2),
f(x)(x∈[1/e,1])↓,由f(1)=-21/8得a=5/4,矛盾.
综上,f(x)|max=ln0.4-0.9.