如何证明n2+n+2有且只有有限个平方数

题目

如何证明n2+n+2有且只有有限个平方数
其中n2表示n的平方

答案

本题需要已知n为自然数.
证：
令n²+n+2=m² (m∈N+)
n∈N,n≥0 n²≥0 n²+n+2≥2
m²≥2,又m∈N+,因此m≥2
m²-n²=n+2
(m+n)(m-n)=n+2
m∈N+,n∈N
m+n恒>0,n+2恒>0,要等式成立,m-n>0
m>n
m-n=(n+2)/(m+n)
m-n为正整数,(n+2)/(m+n)为正整数,m+n能被n+2整除
m+n≤n+2
m≤2
又m≥2,因此只有m=2
n²+n+2=4
n²+n-2=0
(n+2)(n-1)=0
n=-2(舍去)或n=1
综上,得：n²+n+2有且只有一个平方数.