已知集合Sn=｛X丨X=（X1,X2,…,Xn）,Xi∈｛0,1｝,i=1,2,…,n}(n≥2),对于A=（a1,a2,…,an）,

题目

已知集合Sn=｛X丨X=（X1,X2,…,Xn）,Xi∈｛0,1｝,i=1,2,…,n}(n≥2),对于A=（a1,a2,…,an）,
B=(b1,b2,…,bn)∈Sn,定义A与B的差为A－B=（丨a1－b1丨,丨a2－b2丨,…,丨an－bn丨）,A与B之间的距离为d(A,B)=∑(上面一个n,下面一个i=1)丨ai－bi丨
(1)当n=5时,设 A=(0,1,0,0,1),B=(1,1,1,0,0),求A－B,d(A,B);
(2)证明：对于任意的A,B,C∈Sn,有A－B∈Sn,且d(A－C,B－C)=d(A,B).
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答案

(1)A－B=（丨a1－b1丨,丨a2－b2丨,丨a3－b2丨,丨a4－b4丨,丨a5－b5丨）
=（丨0－1丨,丨1－1丨,丨0－1丨,丨0－0丨,丨1－0丨）
=（1,0,1,0,1）
d(A,B)=1+0+1+0+1=3
(2)因为Sn=｛X丨X=（X1,X2,…,Xn）,Xi∈｛0,1｝,i=1,2,…,n}(n≥2),
所以对于任意的A,B∈Sn,都有丨an－bn丨=0或1
所以A－B=（丨a1－b1丨,丨a2－b2丨,…,丨an－bn丨）∈Sn
d(A－C,B－C)=∑(上面一个n,下面一个i=1)丨（ai－ci）-（bi－ci）丨
=∑(上面一个n,下面一个i=1)丨ai－bi丨
=d(A,B).