已知集合M=｛x|x=m²-n²,m,n∈Z｝.

题目

已知集合M=｛x|x=m²-n²,m,n∈Z｝.
①由于1=1²-0²,3=2²-1²,5=3²-2²,…,那么任何奇数是否都是集合M中的元素?证明你的结论.
②显然2∉M,6∉M,能否证明任何偶数都不是集合M中的元素?请说明理由.

答案

(1)正确,任意奇数2n+1=(n+1)^2 - n^2.
(2)不正确,取m=4,n=2,x=m^2 - n^2 = 12,12属于M.
事实上任意4k+2都不属于M,任意4k+4都属于M.
x=m^2-n^2 = (m-n)(m+n)
因为m-n和m+n同为奇数,或同为偶数,所以当x为偶数时,m-n,m+n都是偶数,则x被4整除.
因为4k+4 = (k+2)^2 - k^2,所以4k+4属于M.