若函数y=f(x)的定义域为N,且(x+y)=f(x)+f(y)+xy,已知f(1)=1,则f(x)的表达式为

题目

若函数y=f(x)的定义域为N,且(x+y)=f(x)+f(y)+xy,已知f(1)=1,则f(x)的表达式为
麻烦给出证明,

答案

令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+0,f(0)=0f(x+y)-f(x)=f(y)-f(0)+xy(f(x+y)-f(x))/y=(f(y)-f(0))/y+x两端取y趋向0的极限,得f'(x)=f'(0)+x令x=1,f'(0)=0(我感觉这里题目的条件应该是f'（1）=1?)所以有f'(x)=x,f(x)=0.5*x^...