求∫(x*arctan x)/(1+x*x)

题目

求∫(x*arctan x)/(1+x*x)
做变换,令arctan x=t,x=tan t,dx=sec² t dt=∫ t*(tan t)*(sec t) dt=∫ td(sec t)=t*(sec t)-∫ (sec t)dt=t*(sec t)-ln|（sec t）-（tan t）|=(√(1+x² ))*（arctan x）-ln|x+(√(1+x²))|+c2.但是不知道t*(sec t)-ln|（sec t）-（tan t）|=(√(1+x² ))*（arctan x）-ln|x+(√(1+x²))|+c2.这一步是怎么得出来的?求老师赐教

答案

首先你要知道一条恒等式：1 + tan²x = sec²x所以两边开方：secx = √(1 + tan²x)将x = tant代入就会得sect = √(1 + tan²t) = √(1 + x²)或者用辅助直角三角形：已知tant = x = x/1 = 对边...