已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1若数列{an+1+tan}是等比数列．求数列｛an}的通项公式

题目

已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1若数列{an+1+tan}是等比数列．求数列｛an}的通项公式

答案

把通项表示为a[n],比较清楚
a[n+1]=a[n]+6a[n-1]
两边同时加上2a[n]
变成：
a[n+1]+2a[n]=3a[n]+6a[n-1]=3(a[n]+2a[n-1])
两边同时减去3a[n]
变成：
a[n+1]-3a[n]=-2a[n]+6a[n-1]=-2(a[n]-3a[n-1])
综上：
b[n]=]a[n+1]+2a[n]为q1=3的等比数列b[1]=15
c[n]=a[n+1]-3a[n]为q2=-2的等比数列c[1]=-10
所以
a[n+1]+2a[n]=b[n]=15*3^(n-1)
a[n+1]-3a[n]=c[n]=-10*(-2)^(n-1)
两式相减得：
5a[n]=b[n]-c[n]=15*3^(n-1)+10*(-2)^(n-1)
得：
a[n]=3^n-(-2)^n
注：x^y=x的y次方